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体系的“完备性”；希尔伯特还要求公理体系保持“独立性”（即所有公理都是互相独立的，使公理系统尽可能的简洁）和“无矛盾性”（即相容性，不能从公理系统导出矛盾）不过到了1931年，奥地利裔数学家哥德尔却证明了这样的一个命题：
任何一个形式系统，只要包括了简单的初等数论描述，而且是自洽的，它必定包含某些系统内所允许的方法既不能证明真也不能证伪的命题。
这个定理的证明，对于希尔伯特的计划，几乎是致命的一击。而且它的影响远远不止于此，这个定理一举粉碎了数学家两千年来的信念。因为它证明了真与可证是两个概念。可证的一定是真的，但真的不一定可证。某种意义上，悖论的阴影将永远伴随着我们。
它的影响甚至远远地超出了数学，一直影响到物理学、哲学等等。在原本的历史上，霍金在一次演讲中提到建立一个单一的描述宇宙的大统一理论是不太可能的。而支持他做出这样的推测的基础也就是哥德尔不完备定律了。
只是这个东西和他此前的研究方向有些不太一致，不过李谦觉得，这不是什么特别大的问题，反正他也只打算先用这个装一个13，装完这个13他就跑回自己的代数几何去不就行了吗？
1924年的国际数学家大会就要在多伦多举行了。但是李谦现在还没有获得邀请，虽然他此前已经完成了对“李谦第二猜想”和“李谦第三猜想”的证明，但是这并不足以让他获得一张邀请函。不过不但李谦没有得到邀请函，希尔伯特和艾米·诺特也没有。因为一战的影响，国际数学家大会对原同盟国的数学家关上了大门。这扇大门要到1928年的第8届国际数学家大会才会从新打开。
“也不知道现在抛出这个成果，还来不来得及得到一份邀请函。”李谦这样想。
不过不管能不能得到邀请函，赶紧把这个成果抛出来总是没错的。
“都怪前一段时间光顾着作死去了，居然没来得及干这个！”在送别了张松年之后回来的路上，李谦忍不住这样想道。
证明这一定理通常有三种途径，李谦当然选择了相对而言最为直观的模型论途径。这也是在原本的历史上，哥德尔本人证明这一定理的途径。
在这个假期里，李谦一边带着他的研究团队继续研究关于交换代数的一些问题，一边自己秘密的进行关于哥德尔不完备定律的研究。在这个过程中，李谦通过写信向罗素和希尔伯特“请教”的方式，悄悄地留下了一些“研究证据”，然后在假期的最后一天，他向《星号》期刊寄出了他的论文。几天之后他便得到论文将在下一期的《星号》上刊出的回信。
在拿到这一回信后，李谦便将这篇论文中的较为关键的部分寄给了希尔伯特。并再次提出希望得到他的指点。
几天之后的一个中午，李谦正在图书馆忙碌——因为他的学术表现，现在他已经获得了在任何专业课上旷课的特权。突然，他的新代数老师佩蒂特先生急匆匆地跑进了图书馆。佩蒂特先生有严重地近视眼，即使带着眼镜，也看不了多远。所以他如今用手扶着他的眼镜，在图书馆中四处张望，就像是端着望远镜在寻找大海中的一条船。然而以佩蒂特先生的眼神，要找到一个人那可不容易。直到图书管理员吉罗上来问道：“佩蒂特先生，您有什么需要我帮助的吗？”
“啊，是吉罗呀。”佩蒂特先生并不是通过眼镜，而是听过耳朵判断出了说话人的身份，“吉罗，你来的正好。在图书馆里我不能大叫，你帮我找找，李谦在这里吗？如果在，你帮我把他叫出来。”
李谦如今已经是学校里的名人了，图书馆的工作人员都认得他。而且作为一个黄种人，他也很显眼——当然，佩蒂特先生不这么觉得——所以，吉罗很快就找到了他。他走上前去，轻轻地和李谦说了两句话，李谦便放下手中的书和笔记本，走了出来。
“我们到外面去说。”佩蒂特先生是个很守规矩的人。
“两个人便到了外面。
“李，希尔伯特先生从德国赶来了，他点名要见见你。“佩蒂特先生说到。